Covariance et Coefficient de corrélation

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Propriétés prémilinaires

Proposition :
Si \(X\) et \(Y\) sont deux v.a. Indépendantes ayant une espérance, alors $${{E(XY)}}={{E(X)E(Y)}}$$

(Variables aléatoires indépendantes, Espérance)

Consigne: Montrer que si \(X\) et \(Y\) sont deux v.a. Indépendantes ayant une espérance, alors $$E(XY)=E(X)E(Y)$$
(dans le cas où \(X\) et \(Y\) sont discrètes)

Transformer en produit dans la déf de \(E(\lvert XY\rvert)\)

$$\begin{align} E(\lvert XY\rvert)&=\sum_{x_i\in X(\Omega)}\sum_{y_i\in Y(\Omega)}\lvert x_i\rvert\lvert y_j\rvert P(X=x_i,Y=y_j)\\ &=\sum_{x_i\in X(\Omega)}\sum_{y_i\in Y(\Omega)}\lvert x_i\rvert\lvert y_j\rvert P(X=x_i)P(Y=y_j)\\ &=\sum_{x_i\in X(\Omega)}\lvert x_i\rvert P(X=x_i)\sum_{y_i\in Y(\Omega)}\lvert y_j\rvert P(Y=y_j)\\ &=E(\lvert X\rvert)E(\lvert Y\rvert)\end{align}$$

Définition

Si \((X,Y)\) est un couple de v.a. Ayant des moments d'ordre \(2\), leur covariance est : $${{\operatorname{Cov}(X,Y)}}={{E(XY)-E(X)E(Y)}}={{E((X-E(X))(Y-E(Y)))}}$$ si de plus leurs variances sont non nulles, leur coefficient de corrélation est : $${{\rho(X,Y)}}={{\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)} }=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)} }}$$

(Espérance)

Propriétés

Symétrie

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,{{X}})$$

Additivité

$$\operatorname{Cov}({{X+Y,Z}})={{\operatorname{Cov}(X,Z)+\operatorname{Cov}(Y,Z)}}$$

Bilinéarité

$$\forall a,b,c,d\in{\Bbb R},\qquad{{\operatorname{Cov}(aX+b,cY+d)}}={{ac\operatorname{Cov}(X,Y)}}$$

Bornes

$${{\lvert\operatorname{Cov}(X,Y)\rvert}}\leqslant{{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)} }}$$

$${{-1}}\leqslant\rho(X,Y)\leqslant{{1}}$$

Lien avec la variance

$$\operatorname{Cov}({{X,X}})={{\operatorname{Var}(X)}}$$

Lien avec l'indépendance

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, alors \(\operatorname{Cov}(X,Y)={{0}}\)

Interprétation : corrélation

Si \(\operatorname{Cov}(X,Y)=0\), on dit que \(X\) et \(Y\) sont non corrélées ou décorélées

Si \(\operatorname{Cov}(X,Y)\gt 0\), on dit que \(X\) et \(Y\) sont positivement corrélées
\(Y\) a alors tendance à augmenter quand \(X\) augmente

Si \(\operatorname{Cov}(X,Y)\lt 0\), on dit que \(X\) et \(Y\) sont négativement corrélées
\(Y\) a alors tendance à diminuer quand \(X\) augmente